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[主观题]
令分别为Y对X回归和X对Y的回归中的斜率，证明： 其中r为X与Y之间的线性相关系数。
令
分别为Y对X回归和X对Y的回归中的斜率，证明：
其中r为X与Y之间的线性相关系数。
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证明：仅当R2=1时，Y对X的线性回归的斜率估计量等于X对Y的线性回归的斜率估计量的倒数。
表给出了1974～1986年美国制造业税后利润X(100万美元)以及3月期现金利息Y(100万美元)的数据。
| 美国制造业现金利息(Y) 与税后利润(X) | ||
| 年份 | Y | X |
| 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 | 19467 19968 22763 26585 28932 32491 36495 40317 41259 41624 45102 45517 46044 | 58747 49135 64519 70366 81148 98698 92579 101302 71028 85834 107648 87648 83121 |
a．预期现金利息与税后利润的关系如何？
b．做Y对X的散点图。
c．该散点图是否与预期相符？
d．如果是。做Y对X的OLS回归，并给出常用统计量。
e．对斜率建立一个99%置信区间，并检验假设：真实的斜率为零；即现金利息与税后利润之间不相关。
证明：相关系数的另一个表达式是 其中为一元线性回归模型一次项系数的估计值，Sx，Sy分别为X与Y的样本标准差。
假使在回归模型Yi=β0+β1Xi+μi中，用不为零的常数δ去乘每一个X值，这会不会改变Y的拟合值及残差？如果对每个X都加大一个非零常数δ，又会怎样？
假设某位消费者只消费两种商品X和Y，其效用函数为U=X1/3Y1/3，商品价格分别为Px和Py,收入为M,求此人对商品X和Y的需求函数.
在研究“人口密度”对“离中心商业区距离”的回归函数中，马达拉(Maddala)根据1970年巴尔的摩地区39个人口普查区的有关数据得到如下回归结果：
lnYi=10.093-0.239Xi
t=(54.7) (-12.28) R2=0.803
t=(47.87) (-15.10)
其中，Y——普查区的人口密度，X——离中心商业区的距离(英里)。
分析一消费者消费X和Y两种商品时，无差异曲线的斜率的绝对值处处是Y/X，Y是商品Y的量，X是商品X的量。
表6-1反映了日本1985-1995年11年间水稻产量Y和耕种面积X的变化。
(1)以X为横轴、Y为纵轴，画出数据的散点图。
(2)对下面的单元回归模型进行OLS估计，并计算t值和决定系数R2。
Y=α+βX+u
(3)受1993年冻害的影响，水稻的收成指数为战后最低水平(78)，出现了前所未有的歉收。因此，设1993年为D=1，其他年份为D=0，引入临时虚拟变量，对下面的多元回归模型进行估算。并计算t值和自由度调整后的决定系数
Y=α+β1X+β2D+u
表6-1 日本水稻产量与耕种面积的变化
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