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[主观题]
当∑为xOy面内的一个闭区域时，曲面积分与二重积分有什么关系？
当∑为xOy面内的一个闭区域时，曲面积分
与二重积分有什么关系？
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计算以xOy面上的圆周x2+y2=ax围成的闭区域为底，而以曲面z=x2+y2为顶的曲顶柱体的体积．
计算以xOy面上的圆周x2+y2=ax围成的闭区域为底，而以曲面z=x2+y2为顶的曲顶柱体的体积．
设Σ为球面x2+y2+z2=a2.有人说，由于Σ关于xOy面对称，而函数f(x，y，z)=z关于z是奇函数，故下列两个曲面积分的值均为零：
，
(I4中的Σ是球面的外侧)，
这个说法对吗？
把积分
化为三次积分，其中积分区域Ω是由曲面z=x2+y2，y=x2及平面y=1，z=0所围成的闭区域。
设有一平面薄板(不记其厚度)，占有xOy面上的闭区域D，薄板上分布有面密度μ=μ(x，y)的电荷，且μ(x，y)在D上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q．
利用柱面坐标计算下列三重积分：
(x2+y2)dxdydz∭ Ω
，其中Ω是由曲面x2+y2=2z及平面z=2所围成的闭区域．
设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的闭区域为D={(x，y)|x2+y2-xy≤75}，小山的高度函数为h=f(x，y)=75-x2-y2+xy.
(1)设M(x0，y0)∈D，问f(x，y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若把此方向导数的最大值记为g(x0，y0)，试写出g(x0，y0)的表达式．
(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚找一上山坡度最大的点作为攀岩的起点．也就是说，要在D的边界线x2+y2-xy=75上找出(1)中的g(x，y)达到最大值的点．试确定攀岩起点的位置．
把对坐标的曲线积分∫LP(x，y)dx+Q(x，y)dy化为对弧长的曲线积分，其中L分别为
(1)xOy面内从点(0，0)到(1，1)的直线段’
(2)抛物线y=x2上从点(0，0)到点(1，1)的曲线弧．
计算三重积分∫∫∫xdxdydz，其中Ω是由三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域所围成的区域
验证下列P(x，y)dx+Q(x，y)dy在整个xOy面内是某一函数u(x，y)的全微分，并求这样的一个u(x，y)：
(2)(2x+ey)dx+(xey-2y)dy；
(3)2sin2xsin3ydx-3cos2xcos3ydy；
(4)(3x2y2+8xy3)dx+(2x3y+12x2y2+yey)dy．
设有一平面薄片，占有xOy面上区域D，薄片上分布有面密度为μ=μ(x，y)的电荷，且μ(x，y)在D上连续，试用二重积分表达该薄片上的全部电荷．
