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[主观题]
设(X,ρ)是紧度量空间,T是X到自身的映射且满足条件:对任意x,y∈X,当x≠y时,ρ(Tx,Ty)<ρ(x,y).证明T在X上有唯一
设(X,ρ)是紧度量空间,T是X到自身的映射且满足条件:对任意x,y∈X,当x≠y时,ρ(Tx,Ty)<ρ(x,y).证明T在X上有唯一不动点.
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设(X,ρ)是紧度量空间,T是X到自身的映射且满足条件:对任意x,y∈X,当x≠y时,ρ(Tx,Ty)<ρ(x,y).证明T在X上有唯一不动点.
设X是度量空间,f:X→.证明f连续的充要条件是对每个a∈,集合{x∈X:f(x)≤a}与{x∈X:f(x)≥a}都是闭集.
设X,Y都是Banach空间,T:X→Y为线性算子.证明:T有界的充要条件是对任何,当时有.
设X=[0,1]∪{2,3,…},ρ(x,y)=|x-y|,其中x,y∈X,判断:
(1)X是否完备?
(2)X是否可分?
(3)X是否完全有界?
(4)X是否是紧空间?
设X是区间[a,b]上所有连续函数全体按通常方式定义线性运算所成的线性空间,对于x∈X定义‖x‖=|x(t)|;证明‖·‖与‖·‖1是X上两个不等价的范数.
设随机过程X(t)=e-At,t>0,其中A是在区间(0,a)上服从均匀分布的随机变量,试求X(t)的均值函数和自相关函数.
设随机过程x(t; u)=sinut,其中u是均匀分布在(0,2π)上的随机变量。试判断下列两种情况下X(t)的稳定性。