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题目内容（请给出正确答案）

[主观题]

设{Ek}是Rn中测度有限的可测集列，且有 , 试证明存在可测集E，使得f（x)=χE（x)，a．e．x∈Rn．

设{E_k}是Rⁿ中测度有限的可测集列，且有

$设{Ek}是Rn中测度有限的可测集列，且有 , 试证明存在可测集E，使得f（x)=χE（x)，a$ ,

试证明存在可测集E，使得f(x)=χ_E(x)，a．e．x∈Rⁿ．

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第1题

试证明：设f0（x)，fn（x)（n∈N)是[0，1]上非负可积函数，若fn（x)在[0，1]上依测度收敛于f0（x)，且有，则对[0，1

试证明：

设f₀(x)，f_n(x)(n∈N)是[0，1]上非负可积函数，若f_n(x)在[0，1]上依测度收敛于f₀(x)，且有

，

则对[0，1]中任一可测集E，均有

．

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第2题

设I是中的区间，函数f：I→满足Lipschitz条件，即 L＞0，z，y∈I，|f（x)-f（y)|≤L|x-y|证明关于Lebesgue测度，f将零测

设I是中的区间，函数f：I→满足Lipschitz条件，即

L＞0，z，y∈I，|f(x)-f(y)|≤L|x-y|证明关于Lebesgue测度，f将零测集映为零测集．

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第3题

解答下列问题：设，且E1，E2是R1中可测集，则称E是R2中的可测矩形．

解答下列问题：

设，且E₁，E₂是R¹中可测集，则称E是R²中的可测矩形．

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第4题

试证明：设，，A1是可测集且有m（A1)=m*（A2)＜∞，则A2是可测集．

试证明：

设，，A₁是可测集且有m(A₁)=m^*(A₂)＜∞，则A₂是可测集．

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第5题

设E是中的稠密集（)，f是上的实函数，使得对每个x∈E，截口fx是Lebesgue可测的，且对几乎所有的y∈，截口fy是连续的

设E是中的稠密集()，f是上的实函数，使得对每个x∈E，截口f_x是Lebesgue可测的，且对几乎所有的y∈，截口f^y是连续的．证明f在上是Lebesgue可测的．

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第6题

设m*（E)＜∞，试证明存在Gδ型集H: ，使得对于任一可测集A，都有m*（E∩A)=m（H∩A)．

设m^*(E)＜∞，试证明存在G_δ型集H:，使得对于任一可测集A，都有m^*(E∩A)=m(H∩A)．

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第7题

若F1，F2是Rn中两个互不相交的非空闭集，试作Rn上的连续函数f（x)，使得（i)0≤f（x)≤1（x∈Rn)；（ii)F1={x：f（x)=

若F₁，F₂是Rⁿ中两个互不相交的非空闭集，试作Rⁿ上的连续函数f(x)，使得

(i)0≤f(x)≤1(x∈Rⁿ)；

(ii)F₁={x：f(x)=1}，F₂={x:f(x)=0}．

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第8题

试把闭域套定理推广为闭集套定理，并证明之，闭集套定理：设{Dn}是R2中的闭集列，它满足：i)ii),则存在唯一的

试把闭域套定理推广为闭集套定理，并证明之，

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第9题

若长为N的有限长序列x（n)是矩形序列x（n)=RN（n)。

若长为N的有限长序列x(n)是矩形序列x(n)=R_N(n)。

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第10题

已知x（n)是N点有限长序列，X（k)=DFTFx（n)]。现将长度变成rN点的有限长序列y（n) 试求rN点DFT[y（n)]与X（k)的

已知x(n)是N点有限长序列，X(k)=DFTFx(n)]。现将长度变成rN点的有限长序列y(n)

试求rN点DFT[y(n)]与X(k)的关系。

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第11题

已知x（n)是长度为N，的有限长序列，X（k)=DFT[x（n)]，现将长度扩大r倍，得长度为rN的有限长序列y（n)为求DFT[

已知x(n)是长度为N，的有限长序列，X(k)=DFT[x(n)]，现将长度扩大r倍，得长度为rN的有限长序列y(n)

求DFT[y(n)]与X(k)的关系。

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