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[主观题]

试证明: 设A,B,C是Rn中的可测集.若有m(A△B)=0,m(B△C)=0,则m(A△C)=0.

试证明:

设A,B,C是Rn中的可测集.若有m(A△B)=0,m(B△C)=0,则m(A△C)=0.

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第1题
设{Ek}是Rn中测度有限的可测集列,且有 , 试证明存在可测集E,使得f(x)=χE(x),a.e.x∈Rn.

设{Ek}是Rn中测度有限的可测集列,且有

,

试证明存在可测集E,使得f(x)=χE(x),a.e.x∈Rn

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第2题
试证明: 设{Fα}是Rn中的有界闭集族,G是开集且有,则{Fα}中存在有限个:Fα1,Fα2,…,Fαm,使得.

试证明:

设{Fα}是Rn中的有界闭集族,G是开集且有,则{Fα}中存在有限个:Fα1,Fα2,…,Fαm,使得

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第3题
试证明: 设,,A1是可测集且有m(A1)=m*(A2)<∞,则A2是可测集.

试证明:

,A1是可测集且有m(A1)=m*(A2)<∞,则A2是可测集.

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第4题
试证明: 设f0(x),fn(x)(n∈N)是[0,1]上非负可积函数,若fn(x)在[0,1]上依测度收敛于f0(x),且有 , 则对[0,1

试证明:

设f0(x),fn(x)(n∈N)是[0,1]上非负可积函数,若fn(x)在[0,1]上依测度收敛于f0(x),且有

则对[0,1]中任一可测集E,均有

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第5题
设m*(E)<∞,试证明存在Gδ型集H: ,使得对于任一可测集A,都有m*(E∩A)=m(H∩A).

设m*(E)<∞,试证明存在Gδ型集H:,使得对于任一可测集A,都有m*(E∩A)=m(H∩A).

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第6题
试证明: 设是开区间,是可测集,若存在λ>0,使得m(E∩I)>λ|I|,则对n∈N,存在开区间: |I|=n·|J|,m(E∩J)>λ|J|.

试证明:

是开区间,是可测集,若存在λ>0,使得m(E∩I)>λ|I|,则对n∈N,存在开区间

|I|=n·|J|,m(E∩J)>λ|J|.

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第7题
试证明: 设Γ={Eα}是R1中某些互不相交的正测集形成的集族,则Γ是可数的.

试证明:

设Γ={Eα}是R1中某些互不相交的正测集形成的集族,则Γ是可数的.

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第8题
试证明: Rn中任一闭集F皆为Cδ集,任一开集G皆为Fσ集.

试证明:

Rn中任一闭集F皆为Cδ集,任一开集G皆为Fσ集.

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第9题
设f是上Lebesgue可测的非负实函数,令 A(f)={(x,y):x∈,0<y<f(x)}.证明A(f)是中的Lebesgue可测集,且A(f)的Le

设f是上Lebesgue可测的非负实函数,令

A(f)={(x,y):x∈,0<y<f(x)}.证明A(f)是中的Lebesgue可测集,且A(f)的Lebesgue测度为m(A(f))=

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第10题
设A1,A2,…,An是有限个互不相交的可测集,且 , k=1,2,…,n 试证:

设A1,A2,…,An是有限个互不相交的可测集,且

, k=1,2,…,n

试证:

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第11题
设E1,E2均为有界可测集,试证: m(E1∪E2)=mE1+mE2-m(E1∩E2)

设E1,E2均为有界可测集,试证:

m(E1∪E2)=mE1+mE2-m(E1∩E2)

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